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计算机系统基础笔记

\[ (DAY)^{-1} \]

一.早期冯诺依曼机

控制器：指挥程序运行

特点：

  • 五大件
  • 指令和数据以同等地位存于存储器
  • 指令和数据为二进制
  • 指令由操作码和地址码组成
  • 存储程序
  • 以运算器为主

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二.现代计算机结构

以存储器为中心

1.CPU：运算器+控制器

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2.主存储器

  • MAR 存储地址寄存器
  • 反映存储单元的个数
  • MDR 存储数据寄存器
  • 反映存储字长

3.存储体

  • 存储单元 存放一串二进制代码
  • 存储字 二进制代码组合
  • 存储字长 二进制位数
  • 存储元 存储二进制电子元件，1bit

4.运算器

实现算数运算

  • ACC 累加器
  • MQ 乘商运算器
  • X
  • ALU

5.控制器

  • CU 分析指令，发送控制信号
  • IR 指令寄存器 存放当前执行指令
  • PC 程序计数器，存放下一条指令

三.计算机工作过程

四.定点数编码

\(\text{n+1 bit}\) 合法表示范围 最大数 最小数 真值0的表示
带符号整数：原码 \(-(2^n-1)\leq x\leq2^n-1\) \(\begin{array}{c}\mathbf{0},111...111\\=2^n-1\end{array}\) \(\begin{array}{c}1,111...111\\=-(2^n-1)\end{array}\) \(\begin{array}{c} [+0]_{\text{原}} = 0 , 0 0 0 \ldots 0 0 0 \\ [-0]_{\text{原}} = 1 , 0 0 0 \ldots 0 0 0 \end{array}\)
带符号整数：反码 \(-(2^n-1)\leq x\leq2^n-1\) \(\begin{array}{c}\mathbf{0},111...111\\=2^n-1\end{array}\) \(\begin{array}{c}1,111...111\\=-(2^n-1)\end{array}\) \(\begin{array}{c} [+0]_{\text{原}} = 0 , 0 0 0 \ldots 0 0 0 \\ [-0]_{\text{原}} = 1 , 1 1 1 \ldots 1 1 1 \end{array}\)
带符号整数：补码 \(-2^n\leq x\leq2^n-1\) \(\begin{array}{c}\mathbf{0},111...111\\=2^n-1\end{array}\) \(\begin{array}{c}1,111...111\\=-2^n\end{array}\) \(\begin{array}{c} [+0]_{\text{补}} = 0 , 0 0 0 \ldots 0 0 0 \\ \text{真值0只有一种补码} \end{array}\)
无符号整数 \(0\leq x\leq2^{n+1}-1\) \(\begin{array}{c}1111...111\\=2^{n+1}-1\end{array}\) \(\begin{array}{c}1,000...000\\=0\end{array}\) \(0000...000\)

1.反码

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2.补码

当要完成这个转换 $$ [B]\text{补} \rightarrow [-B]\text{补} $$ 仅需将\(\ [B]_\text{补}\) 按照 按位取反加一的方式转换即可（包括符号位）

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快捷方式（负数）：第一个1不变，符号位不变，其余取反

注：有2个特殊补码： 1111 （-1） 1000（-8）？

五. 算术逻辑单元（ALU）的作用

组合逻辑电路：只与输出和输入有关

时序逻辑电路：

ALU的核心是加法器

六. 加法器

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七. 定点数

1.移位运算

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2.加减法

  • 直接用原码加减可能会出错

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  • 计算结果溢出

在-127~127范围内（8位机器数，含符号位）的数据进行计算 120+16=136，计算结果会溢出。

0 111 1000 + 0 001 0000 = 1 000 1000 （第一个为符号位）

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3.无符号和有符号数计算

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  • 标志位

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  • \(OF（Overflow Flag)\)溢出标志，用于判断带符号数加减运算是否溢出。
  • \(OF=1\) 溢出
  • \(OF=0\) 未溢出
OF:次高位进位和最高位进位异或

0b1000 + 0b1000 --> 0b0000
OF --> 1

0b1011 + 0b0100 --> 0b1111
OF --> 0
  • \(SF（Sign Flag）\)符号标志，用于判断带符号数加减运算结果的正负性 。
  • \(SF=1\) 结果为负
  • \(SF=0\) 结果为正
最高位本位

  • \(ZF（Zero Flag)\)零标志，用于判断加减运算结果是否为0。

  • $ZF=1 $表示结果为0

  • \(ZF=0\)表示结果不为0

  • \(CF（Carry Flag)\)进位/借位标志，用于判断无符号数加减运算是否溢出。

  • \(CF=1\) 溢出

  • $CF=0 $未溢出
无符号数的最高位进位为1异或sub，CF=1，否则CF=0
0b1111 + 0b0001 --> 0b0000
CF --> 1

0b0111 + 0b0001 --> 0b1000
CF --> 0

b7553a160fa890d6b34e6159b06b9c86

ab3af213a6c4d419215c8b8797bfda01

3.原码乘法运算

  • 手算十进制
\[\begin{aligned}\mathsf{r}&\text{进制:}\quad K_{\mathbf{n}}K_{\mathbf{n-1}}\ldots K_{\mathbf{2}}K_{\mathbf{1}}K_{\mathbf{0}}K_{-1}K_{-2}\ldots K_{-m}\\&=K_{\mathbf{n}}\times r^{\mathbf{n}}+K_{\mathbf{n-1}}\times r^{n-1}+\cdots+K_{\mathbf{2}}\times r^{\mathbf{2}}+K_{\mathbf{1}}\times r^{\mathbf{1}}+K_{\mathbf{0}}\times r^{\mathbf{0}}+K_{\mathbf{-1}}\times r^{-1}+K_{\mathbf{-2}}\times r^{-\mathbf{2}}+\ldots+K_{-m}\times r^{-m}\end{aligned}\]
\[ \begin{equation*} \begin{array}{r} & 0.985 \\ \times & 0.211 \\ \hline & 985 \\ & 985\phantom{0} \\ & 1970\phantom{00} \\ \hline & 0.207835 \\ \end{array} \quad \rightarrow \quad \begin{array}{r} & 0.985 \\ \times & 0.211 \\ \hline & 0.000985 \\ & 0.00985\phantom{0} \\ & 0.1970\phantom{00} \\ \hline & 0.207835 \\ \end{array} \end{equation*} \]
\[ \begin{array}{l}0.211=2\times10^{-1}+1\times10^{-2}+1\times10^{-3}\\0.985=985\times10^{-3}\end{array} \]
\[ 0.985\times0.211=(985\times1\times10^{-6})+(985\times1\times10^{-5})+(985\times2\times10^{-4}) \]
  • 手算二进制
\[ \begin{equation*} \begin{array}{r} & 0.1101 \\ \times & 0.1011 \\ \hline & 1101 \\ & 1101\phantom{0} \\ & 0000\phantom{00} \\ & 1101\phantom{000} \\ \hline & 0.10001111 \\ \end{array} \quad \rightarrow \quad \begin{array}{r} & 0.1101 \\ \times & 0.1011 \\ \hline & 0.00001101 \\ & 0.0001101\phantom{0} \\ & 0.000000\phantom{00} \\ & 0.01101\phantom{000} \\ \hline & 0.10001111 \\ \end{array} \end{equation*} \]
\[ \begin{align*} &\text{乘数} : 0.1011 = 1\times2^{-1} + 0\times2^{-2} + 1\times2^{-3} + 1\times2^{-4} \\ &\text{被乘数} : 0.1101 = 1101\times2^{-4} \\ &0.1101\times0.1011=(1101\times1\times2^{-8})+(1101\times1\times2^{-7})+(1101\times0\times2^{-6})+(1101\times1\times2^{-5}) \end{align*} \]

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4.补码乘法

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5.原码除法

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八. 浮点数

1. 浮点数的表示

阶码、尾数均用补码表示

例：阶码、尾数均用补码表示，求a、b的真值 $$ a = 0,01;1.1001 $$

\[ b = 0,10;0.01001 \]

a： 阶码 \(0,01\) 对应真值 \(+1\) 尾数 \(1.1001\) 对应真值 \(-0.0111 = 2^{1}\times(-\left(2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}\right))\)

a 的真值 \(=2^{1} \times(-0.0111)=-0.111\)

阶符 阶码数值部分 数符 尾数的数值部分
a 0 01 1 1001 \(2^{1}\times(-\left(2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}\right)) =-0.111\)
b 0 10 0 01001 \(2^{2}\times(+\left(2^{-2}+2^{-5}\right)) = +1.001\)

2. 规格化浮点数

规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值 。

左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算数左移一位，阶码减1。

右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数算数右移一位，阶码加1。

求a+b

\[ \begin{align} &a=2^{2}\times00.1100, \\ & b=2^{2}\times00.1000, \\ a+b& =2^{2}\times00.1100+2^2\times00.1000, \\ &=2^{2}\times(00.1100+00.1000), \\ &=2^{2}\times01.0100, \\ &=2^{3}\times00.1010 \end{align} \]

作业

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3.IEEE 754标准

（1）移码

  • 补码的基础上符号位取反。补码只能用于表示整数

  • 移码的定义： 移码=真值+偏置值 此处8位移码的偏置值\(=127D=0111\ 1111B\), 即\(2^{n-1}-1\)

 真值 -128 = -1000 0000B 
 移码 = -1000 0000 + 011111111 = 11111 1111
 真值 -127 = -111 11118
 移码 = -111 1111 + 011111111 = 0000 0000
 真值 -126 = -111 1110B
 移码 = -1111110 + 011111111 = 0000 0001
 真值 +0 = +0
 移码 = +0 + 01111111 = 01111111
 真值 +127 = +1111111B
 移码 = +111111 + 0111111111 = 111111110
  • 特殊移码
 真值 -128 = -1000 0000B 
 移码 = -1000 0000 + 011111111 = 11111 1111
 无符号数：255

 真值 -127 = -111 11118
 移码 = -111 1111 + 011111111 = 0000 0000
 无符号数：255

（2）IEEE 754格式

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在计算机科学中，浮点数是一种用来近似表示实数的数学形式，特别是在非常大或非常小的范围内。一个浮点数由三个部分组成：数符、阶码、尾数。

  • 数符：通常用一个二进制位表示，0代表正数，1代表负数。
  • 阶码（Exponent）：是一个表示数的二进制指数的字段。在标准浮点数表示中（如 IEEE 754），阶码通常会经过偏移（或称为“指数偏移”），这意味着一个特定的值（比如127对于32位单精度浮点数，1023对于64位双精度浮点数）会被加到实际的指数上以得到阶码的值。这种偏移允许表示正指数和负指数。
  • 尾数（Mantissa 或 Significand）：表示数的有效数字（或称为“尾数”）。在规格化的浮点数表示中，尾数包含所有的显著数字（除了通常省略的最高位数字，该数字在规格化的数中总是1，除非数是0）。尾数不包括阶码的偏移。

例如，在 IEEE 754单精度浮点数标准中，一个32位的浮点数由以下三个部分组成：

  • 数符：1位
  • 阶码：8位（带有127的偏移）
  • 尾数：23位（加上隐含的最高位，即24位有效数字）

在这种格式中，一个浮点数可以表示为：

\[ (-1)^{数符}\times 1.尾数\times 2^{阶码 - 偏移} \]

阶码的偏移允许我们表示非常小和非常大的数值，而尾数则提供了这些数值的精确度。当解释阶码时，通常需要从存储的阶码值中减去偏移量以获得实际的指数值。例如，如果阶码存储的值是130（二进制为\(1000\ 0010\)），在单精度浮点格式中，实际的指数是130 - 127 = 3。

（3）十进制转IEEE 754浮点数示例

\((-0.75)_{10}=(-0.11)_{2}=(-1.1)_{2}\times2^{-1}\) 数符=1 尾数部分 = .100000.... (隐含最高位1) 阶码真值=-1 单精度浮点型偏移量 = 127D 移码 =阶码真值+偏移量 \(= -1\ +\ 1111111=0111\ 11110\) (凑足8位)

\[ \color{black}{\rightarrow}\color{red}{1}\ \color{blue}{01111110}\ \color{green}{10000000000000000000000} \]

（4）IEEE 754浮点数转十进制

例： IEEE 754 的单精度浮点数 \(CO\ AO\ OO\ OO\ H\) 的值时多少。

\[ \text{CO\ AO\ OO\ OO\ H}\ \rightarrow \color{red}{1}\ \color{blue}{10000001}\ \color{green}{010 0000 0000 0000 0000} \]

数符 = 1 → 是个负数

尾数部分 = \(\color{green}.0100...\) (隐含最高位1) →尾数真值 \(=(1.01)_{2}\) 移码 \(=\color{blue}10000001, 若看作无符号数=129D\) 单精度浮点型偏移量=127D 阶码真值= 移码 - 偏移量 \(= 1000 0001 - 111 111 1 1 = ( 0 0 0 0 1 0 )_{2}=(2)_{10}\) → 浮点数真值 \(=(-1.01)_{2}\times2^{2}=-1.25\times2^{2}=-5.0\)

（5）非规格数

阶码E全0，尾数M不全0时，表示非规格化小数 \(\pm(0.\mathrm{xx}...x)_2\times2^{-126}\)

当阶码E全为0，尾数M全为0时，表示真值 \(\pm0\)

当阶码E全为1，尾数M全为0时，表示无穷大 \(\pm\infty\)

当阶码E全为1，尾数M不全为0时，表示非数值“NaN”(Not a Number)

4.浮点数的加减运算

例：已知十进制数\(X=−5/256、Y=+59/1024\)，按机器补码浮点运算规则计算\(X−Y\)，结果用二进制表示，浮点数格式如下：阶符取\(2\)位，阶码取\(3\)位，数符取\(2\)位，尾数取\(9\)位用

使用补码表示阶码和尾数 $$ X = \frac{−5}{256} \ Y = \frac{+59}{1024} $$

\[ X = -5 = 1.101 =11.011 \]
\[ Y = +59 = 0.111011 = 00.111011 \]
阶符 阶码数值部分 数符 尾数的数值部分
X 11 011 11 011000000 \(\begin{align}X &= -101\times2^{-8} \\ &= -0.101\times2^{-8+3} \\ &= -0.101\times2^{-5} \\ &= -0.101\times2^{-101} \\ &= 11.011\times2^{11.011}\end{align}\)
Y 11 100 00 111011000 \(\begin{align}Y &= +111011\times2^{-10} \\ &= +0.111011\times2^{-10+6} \\ &= +0.111011\times2^{-4} \\ &= +0.111011\times2^{-100} \\ &= 00.111011\times2^{11.100}\end{align}\)

（1）对阶

  • 求阶差小阶向大阶看齐，尾数毎右移一位，阶码加1
\[ \begin{align}[\Delta_j]_补 &= [j_x]_补 + [j_y]_补 \\&= 11.011 + 00.100 \\&= 11.111 \\&=-1_D\end{align} \]

上述计算表示 \(X\) 的阶数小于 \(Y\) 的阶数，因此需要将 \(X\) 算术右移

  • 对阶
\[ \begin{align}X =& 11.100,11.1011000 \\ = & -0.0101\times2^{-100}\end{align} \]

（2）尾数加减

\[ \begin{equation} \begin{array}{l}X-Y \\ =\left(-0.0101 \times 2^{-100}\right)-\left(+0.111011 \times 2^{-100}\right) \\ =(-0.0101-0.111011) \times 2^{-100} \\ =-1.001111 \times 2^{-100}\end{array} \end{equation} \]
\[ \begin{align}[Y]_补 =& 11.100,00.111011000 \\ [-Y]_补 =& 11.100,11.000101000 \\ [X]_补 =& 11.100,11.101100000\end{align} \]
\[ X-Y:(尾数加减)\\ \begin{equation} \begin{array}{r}11.101100000 \\ +\quad 11.000101000 \\ \hline 10.110001000\end{array} \end{equation} \]

（3）规格化

  • 右规

当结果尾数的两个符号位的值不同时，表明尾数运算结果溢出。此时应使结果尾数右移一位，并使阶码的值加1。 $$ \begin{equation} X-Y: \quad 11[100],[10].110001000 \rightarrow 11[101],[11].011000100 \end{equation} $$

  • 左规

当尾数的运算结果不溢出，但最高数值位与符号位同值，表明不满足规格化规则，此时应重复地使尾数左移、阶数减1，直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止。 $$ \begin{align}A =& 11.011,11.011000000\ B =& 11.100,11.111011000\end{align} $$

\[ A-B:11[100],[11].110001000 \rightarrow 11[010],[11].000100000 \]

（4）舍入

  • 0舍1入:被舍去的末尾是0直接舍去，末尾为1再 \(+1\) ，这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。
\[ \begin{equation} \begin{aligned} 11100,10.110001011 & \rightarrow 11101,11.011000101\1 \\ & \rightarrow 11101,11.011000110\1\end{aligned} \end{equation} \]
  • 恒置\(1\):尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。
\[ \begin{equation} \begin{aligned} 11100,10.110001011 & \rightarrow 11101,11.011000101\1 \\ & \rightarrow 11101,11.011000101\1\end{aligned} \end{equation} \]

（5）判溢出

  • 阶码 \(+1\) 后符号位是否相同
\[ 11.100+1 = 11.101 \\ 符号位11相同未溢出 \]
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